GARCH y EWMA 21 de mayo de 2010 por David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: comparar, contrastar y calcular los enfoques paramétricos y no paramétricos para estimar la volatilidad condicional 8230 que incluye: GARCH que incluyera: suavizado exponencial (EWMA) de suavizado exponencial (paramétrica condicional) Los métodos modernos más peso a la información más reciente. Tanto EWMA y GARCH más peso a la información más reciente. Además, como EWMA es un caso especial de GARCH, tanto EWMA y GARCH emplean suavizado exponencial. GARCH (p, q) y, en particular GARCH (1, 1) GARCH (p, q) es un modelo heterocedástica condicional autorregresiva general. Los aspectos clave incluyen: autorregresivo (AR). tomorrow8217s varianza (o volatilidad) es una función de regresión variance8212it today8217s retrocede sobre sí misma condicional (C). varianza tomorrow8217s depends8212is on8212the condicional varianza más reciente. Una varianza incondicional no dependería today8217s varianza Heterocedástico (H). varianzas no son constantes, que con el tiempo flux GARCH retrocede en términos 8220lagged8221 o históricos. Los términos retardados son o varianza o los rendimientos al cuadrado. El (p, q) modelo GARCH genérica sufre una regresión en (p) al cuadrado devoluciones y (q) varianzas. Por lo tanto, GARCH (1, 1) 8220lags8221 o se ejecuta una regresión en los últimos period8217s retorno al cuadrado (es decir, sólo 1 vuelta) y la última variación period8217s (es decir, sólo 1 varianza). GARCH (1, 1) dado por la siguiente ecuación. Lo mismo GARCH (1, 1), la fórmula puede administrarse con parámetros griego: casco, escribe la misma ecuación GARCH como: El primer término (GVL) es importante porque VL es la varianza media a largo plazo. Por lo tanto, (GVL) es un producto: es la varianza de medio a largo plazo ponderado. El GARCH (1, 1) para el modelo resuelve la varianza condicional en función de tres variables (varianza anterior, return2 anterior, y la varianza a largo plazo): La persistencia es una característica integrada en el modelo GARCH. Consejo: En las fórmulas anteriores, la persistencia es (b c) o (alfa-1 beta). Persistencia refiere a la rapidez (o lentitud) o revierte 8220decays8221 hacia su media a largo plazo de la varianza. Alta persistencia equivale a frenar la decadencia y la lenta 8220regression hacia los mean8221 baja persistencia, equivale a la descomposición rápida y 8220reversion rápido a la mean.8221 Una persistencia de 1.0 implica que no hay reversión a la media. A persistencia de menos de 1,0 implica 8220reversion a la media, 8221, donde una persistencia más bajo implica una mayor reversión a la media. Consejo: Como el anterior, la suma de los pesos asignados a la varianza lag y se retrasó el retorno al cuadrado es la persistencia (persistencia aC). Una alta persistencia (mayor que cero pero menor que uno) implica la reversión lenta a la media. Pero si los pesos asignados a la varianza lag y de retorno al cuadrado quedado son mayores que uno, el modelo es no estacionario. Si (BC) es mayor que 1 (si bc gt 1) el modelo es no estacionario y, según Hull, inestable. En cuyo caso, se prefiere EWMA. Linda Allen dice acerca GARCH (1, 1): GARCH es a la vez 8220compact8221 (es decir, relativamente simple) y muy preciso. modelos GARCH predominan en la investigación académica. Muchas variaciones del modelo GARCH se han intentado, pero pocos han mejorado en el original. El inconveniente del modelo GARCH es su linealidad sic Por ejemplo: Resuelve para la varianza de largo plazo en GARCH (1,1) Considere el GARCH (1, 1) ecuación siguiente: Supongamos que: el parámetro alpha 0.2, el parámetro beta 0.7, y omega Tenga en cuenta que es de 0,2, pero omega don8217t error (0.2) para la varianza de largo plazo Omega es el producto de la gamma y la varianza de largo plazo. Así pues, si alfa beta 0.9, a continuación, gamma debe ser 0.1. Dado que los omega es de 0,2, sabemos que la varianza a largo plazo debe ser 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): La mera diferencia entre la notación de casco y Allen EWMA EWMA es un caso especial del modelo GARCH (1,1) y GARCH (1,1) es un caso generalizado de EWMA. La diferencia más destacada es que GARCH incluye el término adicional para la reversión a la media y EWMA carece de una reversión a la media. Aquí es cómo obtenemos de GARCH (1,1) para EWMA: A continuación les dejamos un 0 y (ac) 1, de tal manera que la ecuación anterior se simplifica a: Esto es ahora equivalente a la fórmula para exponencialmente ponderada media móvil (EWMA): en EWMA, el parámetro lambda calcula ahora la 8220decay: 8221 un lambda que está cerca de una (alta lambda) exhibe una lenta decadencia. Los RiskMetrics Enfoque RiskMetricsTM es una forma de marca de la aproximación exponencial media móvil ponderada (EWMA): La óptima lambda (teórico) varía según la clase de activos, pero el parámetro óptimo global utilizado por RiskMetrics ha sido 0,94. En la práctica, RiskMetrics sólo utiliza un factor de decaimiento para todas las series: 183 0,94 para los datos diarios 183 0,97 para los datos mensuales (mes definidas como 25 días de negociación) Técnicamente, los modelos diarios y mensuales son incompatibles. Sin embargo, son a la vez fácil de usar, que se aproximan al comportamiento de los datos reales bastante bien, y son robusto a errores. Nota: GARCH (1, 1), EWMA y RiskMetrics son cada uno paramétrico y recursiva. Ventajas y desventajas de EWMA recursivas de MA (es decir DESVEST) vs. Resumen GARCH gráfica de los métodos paramétricos que asignan un mayor peso a los retornos recientes (GARCH amp EWMA) Consejos Resumen: GARCH (1, 1) es generalizado RiskMetrics y, a la inversa, es RiskMetrics caso restringido de GARCH (1,1) donde un 0 y (bc) 1. GARCH (1, 1) viene dada por: los tres parámetros son pesos y por lo tanto deben sumar uno: Consejo: Tenga cuidado con el primer término de la GARCH (1, 1) ecuación: omega () gamma () (variación media a largo plazo). Si se le pregunta por la varianza, es posible que tenga que dividir el peso con el fin de calcular la varianza de la media. Determinar cuándo y si un modelo GARCH o EWMA se debe utilizar en la estimación de la volatilidad En la práctica, las tasas de variación tienden a ser malo revertir, por lo tanto, el GARCH (1, 1) modelo es teóricamente superiores (8220more than8221 atractivo) para el modelo EWMA. Recuerde, that8217s la gran diferencia: GARCH añade el parámetro que pondera el promedio a largo plazo y por lo tanto se incorpora reversión a la media. Consejo: GARCH (1, 1) se prefiere a menos que el primer parámetro es negativa (que está implícita si alfa beta gt 1). En este caso, GARCH (1,1) es inestable y se prefiere EWMA. Explicar cómo las estimaciones GARCH pueden proporcionar previsiones que son más precisos. El promedio móvil calcula la varianza de una ventana de salida de observaciones, por ejemplo, los últimos diez días, los últimos 100 días. Hay dos problemas con la media móvil (MA): función Imagen secundaria: choques de volatilidad (aumentos repentinos) se incorporan en forma abrupta en el MA métrica y luego, cuando pasa a la ventana de salida, se dejan caer abruptamente desde el cálculo. Debido a esto la métrica MA se desplazará en relación con la información de longitud de la ventana de tendencia elegido estimaciones GARCH no se incorpora mejorar estas debilidades en dos formas: Observaciones más recientes se asignan pesos mayores. Esto supera el efecto fantasma porque un choque volatilidad tendrá un impacto inmediato la estimación pero su influencia se desvanecerá gradualmente a medida que pasa el tiempo se añade un término de incorporar reversión a la media Explica cómo persistencia está relacionado con la reversión a la media. Dado el GARCH (1, 1) ecuación: Persistencia viene dada por: GARCH (1, 1) es inestable si la persistencia gt 1. Una persistencia de 1.0 indica que no hay reversión a la media. Una persistencia baja (por ejemplo 0,6) indica descomposición rápida y de alta reversión a la media. Consejo: GARCH (1, 1) tiene tres pesos asignados a tres factores. La persistencia es la suma de los pesos asignados tanto a la varianza lag y retardados retorno cuadrado. El otro peso se asigna a la varianza de largo plazo. Si P persistencia y el peso G asignados a largo plazo varianza, entonces PG 1. Por lo tanto, si es alta P (permanencia), entonces G (reversión a la media) es baja: la serie persistente no se quiere decir con fuerza revertir exhibe 8220slow decay8221 hacia el media. Si P es baja, entonces G tiene que ser alto: la serie impersistent Qué significa revertir fuertemente exhibe 8220rapid decay8221 hacia la media. La media, la varianza incondicional en el GARCH (1, 1) modelo está dado por: Explicar cómo EWMA descuenta de forma sistemática los datos más antiguos, e identificar el RiskMetrics174 diaria y los factores de desintegración mensuales. El exponencial media móvil ponderada (EWMA) viene dada por: La fórmula anterior es una simplificación recursiva de la serie 8220true8221 EWMA que viene dada por: En la serie EWMA, cada peso asignado a los rendimientos al cuadrado es una proporción constante del peso anterior. Específicamente, lambda (l) es la relación entre los pesos de vecinos. De esta manera, los datos más antiguos se descuenta sistemáticamente. El descuento sistemática puede ser gradual (lento) o abrupto, dependiendo de lambda. Si lambda es alta (por ejemplo 0,99), a continuación, el descuento es muy gradual. Si lambda es baja (por ejemplo 0,7), el descuento es más abrupto. Los factores de desintegración RiskMetrics TM: 0,94 para los datos diarios de 0,97 para los datos mensuales (mes definidas como 25 días de negociación) Explicar por qué correlaciones de pronóstico puede ser más importante que la previsión de las volatilidades. Cuando se mide el riesgo de cartera, las correlaciones pueden ser más importantes que la volatilidad del instrumento individual / varianza. Por lo tanto, en lo que se refiere al riesgo de la cartera, un pronóstico de correlación puede ser más importante que la predicción de la volatilidad individuales. Utilice GARCH (1, 1) para pronosticar la volatilidad de la tasa futura de varianza esperada, en (t) períodos hacia adelante, está dado por: Por ejemplo, supongamos que una estimación de volatilidad actual (periodo n) viene dada por la siguiente GARCH (1, 1 ) ecuación: En este ejemplo, alfa es el peso (0.1) asignada al retorno cuadrado anterior (la vuelta anterior fue 4), beta es el peso (0,7) asignado a la varianza anterior (0,0016). ¿Qué es la volatilidad futura esperada, en diez días (n 10) En primer lugar, resolver la varianza a largo plazo. No es 0,00008 este término es el producto de la varianza y de su peso. Puesto que el peso debe ser de 0,2 Resultados (1 - 0,1 -0,7), la varianza a largo plazo 0,0004. En segundo lugar, necesitamos la varianza actual (periodo n). Eso es casi dado a nosotros por encima de: Ahora podemos aplicar la fórmula para resolver la tasa de variación futura esperada: Esta es la tasa de variación esperada, por lo que la volatilidad esperada es de aproximadamente 2,24. Observe cómo funciona esto: la volatilidad actual es de aproximadamente 3,69 y la volatilidad a largo plazo es 2. La proyección hacia adelante de 10 días 8220fades8221 la tasa actual más próximo a la tasa de largo plazo. La volatilidad no paramétrico ForecastingEWMA 101 El enfoque EWMA tiene una característica atractiva: se requiere de datos relativamente pequeña almacenados. Para actualizar nuestra estimación en cualquier momento, sólo tenemos una estimación previa de la tasa de variación y el valor de observación más reciente. Un objetivo secundario de EWMA es rastrear los cambios en la volatilidad. Para valores pequeños, observaciones recientes afectan a la estimación con prontitud. Para valores más cercanos a uno, los cambios en las estimaciones basadas lentamente sobre los cambios recientes en los rendimientos de la variable subyacente. La base de datos RiskMetrics (elaborado por JP Morgan y hecho público disponible) utiliza la EWMA con la actualización de la volatilidad diaria. IMPORTANTE: La fórmula EWMA no asume un nivel de variación media a largo plazo. Por lo tanto, el concepto de volatilidad reversión a la media no es capturado por el EWMA. Los modelos ARCH / GARCH son más adecuados para este propósito. Lambda Un objetivo secundario de EWMA es rastrear los cambios en la volatilidad, por lo que para valores pequeños, la observación reciente afecta a la estimación de tiempo, y para los valores más cerca de uno, la estimación de los cambios lentamente a los cambios recientes en los rendimientos de la variable subyacente. La base de datos RiskMetrics (elaborado por JP Morgan) y hecho público disponible en 1994, utiliza el modelo EWMA con la actualización de la estimación de la volatilidad diaria. La compañía encontró que a través de una serie de variables de mercado, este valor de da el pronóstico de la varianza que más se acerquen a la tasa de varianza realizada. Las tasas de varianza realizada en un día determinado se calculó como la media ponderada equitativamente de los 25 días posteriores. Del mismo modo, para calcular el valor óptimo de lambda para nuestro conjunto de datos, tenemos que calcular la volatilidad observada en cada punto. Hay varios métodos, por lo que elegir uno. A continuación, se calcula la suma de errores cuadrados (SSE) entre la estimación EWMA y la volatilidad observada. Por último, minimizar el SSE variando el valor lambda. Suena simple, lo es. El mayor desafío es ponerse de acuerdo sobre un algoritmo para calcular la volatilidad observada. Por ejemplo, la gente de RiskMetrics eligieron la posterior de 25 días para calcular la tasa varianza realizada. En su caso, puede optar por un algoritmo que utiliza Volumen diario, HI / LO y / o los precios de apertura y cierre. FAQ Q 1: ¿Podemos utilizar EWMA para estimar (o previstos) la volatilidad más de un paso por delante La representación volatilidad EWMA no asume una volatilidad media a largo plazo, y por lo tanto, para cualquier horizonte de proyección más allá de un solo paso, la EWMA devuelve una valor constante: 7.3.7 ponderado exponencialmente media móvil (EWMA) 7.3.7 ponderada exponencialmente media móvil para conciliar los supuestos de estimación uniformemente móvil ponderado promedio (UWMA) con las realidades del mercado de heteroscedasticidad, podríamos aplicar estimador de 7,10 a sólo el más reciente tq datos históricos. que debería ser más un reflejo de las condiciones actuales del mercado. Si lo hace, es contraproducente, ya que la aplicación de estimador de 7,10 a una pequeña cantidad de datos aumentará su error estándar. En consecuencia, UWMA implica un dilema: su aplicación a una gran cantidad de datos es mala, pero también lo es su aplicación a un poco de datos. Esto motivó Zangari (1994) para proponer una modificación de UWMA llamado ponderado exponencialmente estimation.2 media (EWMA) que se mueve Esto se aplica una ponderación no uniforme a los datos de series de tiempo, por lo que una gran cantidad de datos se puede utilizar, pero los datos recientes se pondera más fuertemente . Como su nombre indica, los pesos se basan en la función exponencial. la estimación promedio móvil ponderado exponencialmente reemplaza estimador de 7,10 con factor de decaimiento, donde generalmente se le asigna un valor entre 0,95 y 0,99. factores de desintegración inferiores tienden a ponderar los datos más recientes. Tenga en cuenta que la estimación promedio móvil ponderado exponencialmente es ampliamente utilizado, pero es una modesta mejora con respecto a UWMA. No intenta modelar mercado de heterocedasticidad condicional más de lo que lo hace UWMA. Su esquema de ponderación reemplaza el dilema de la cantidad de datos para su uso con un dilema similar a la agresividad con un factor de disminución de su uso. Consideremos de nuevo Exponer 7,6 y nuestro ejemplo de la posición de USD 10 MM es SGD. Permite estimar 10 1 utilizando exponencialmente móvil ponderado promedio de 7.20 estimador. Si utilizamos 0.99, se obtiene una estimación de 10 1 de 0,0054. Si utilizamos 0.95, se obtiene una estimación de 0,0067. Estos corresponden a la posición de los resultados del valor en riesgo de USD 89.000 y USD 110.000, respectivamente. Ejercicios Anexo 7.7 indica los 30 días de datos de 1 mes CHF Libor. Exhibición 7.7: Los datos de 1 mes CHF Libor. Las tarifas se expresan en porcentajes. Fuente: British Bankers Association (BBA).EWMA covarianza de definición de modelos de series de tiempo Consideremos n de los rendimientos y hacer que el supuesto habitual de que los rendimientos son correlación serial. Entonces, podemos definir un vector de media cero ruidos blanco 949 t r t - 956. donde r t es el vector n x2a2f 1 de devoluciones y 956 es el vector de los rendimientos esperados. A pesar de ser correlación serial, los rendimientos pueden presentar correlación contemporánea. Es decir: t x2211 x2254 120124 t - 1 R T - 956 R T - 956 no puede ser una matriz diagonal. Por otra parte, esta variación contemporánea puede ser variable en el tiempo, en función de la información pasada. La media móvil (EWMA) modelo de covarianza ponderado exponencialmente asume una forma paramétrica específica para este covarianza condicional. Más específicamente, se dice que R T - 956 t x2211 1 1 - x3bb R T - 956 t r - 956 x3bb x2211 t V-Lab utiliza x3bb 0,94. el parámetro sugerido por RiskMetrics de los rendimientos diarios, y 956 es el promedio de la muestra de los retornos. Las correlaciones Observe que los elementos de la diagonal principal de x2211 t nos dan las varianzas condicionales de los rendimientos, es decir x2211 t i. i es la varianza condicional del retorno r t i. Análogamente, los elementos fuera de la diagonal principal nos dan covarianzas condicionales, es decir x2211 t i. j es la covarianza condicional entre los rendimientos r t i e r t j. Por lo tanto, podemos fácilmente copias de las correlaciones condicionales, x393 t i. j x2254 x2211 t i. j t i x2211. i x2211 t j. j Esto es lo que se representa por V-Lab. De manera más concisa, podemos definir toda la matriz de correlación por: x393 t D t x2254 x2211 -1 t D t -1 donde D t es una matriz de tal manera que, x2200 i. j x2208 1. n: D t i. j x2254 x3b4 i. j t i x2211. j, donde i x3b4. j es la delta de Kronecker, es decir x3b4 i. j 1 si i j y x3b4 i. j 0 en caso contrario. Es decir, D t es una matriz con todos los elementos externos del conjunto principal diagonal a cero, y el conjunto principal diagonal a las volatilidades condicionales, es decir, los elementos de la diagonal principal son iguales a la raíz cuadrada de los elementos en el principal diagonal de x2211 t. Entonces, x393 t i. j es de nuevo la correlación entre r t i e r t j. Tenga en cuenta que x393 t i. j 1. x2200 x2208 i 1. n. La relación con GARCH (1,1) Tenga en cuenta que la EWMA es en realidad una versión de un modelo multivariado IGARCH 1 1, que es un caso particular del modelo GARCH 1 1. Nótese también que después de la iteración de la expresión varianza condicional, obtenemos, si x2208 x3bb 0 1: x2211 t 1 1 - x3bb 949 t 949 t x3bb 1 - x3bb 949 t - 1 949 t - 1 x3bb 2 1 - x3bb 949 t - 2 949 t - 2. 1 - x3bb 949 t 949 t 949 t x3bb - 1 949 t - 1 x3bb 2 949 t - 2 949 t - 2. 949 t 949 t 949 t x3bb - 1 949 t - 1 x3bb 2 949 t - 2 949 t - 2. 1 1 - x3bb 949 t 949 t 949 t x3bb - 1 949 t - 1 x3bb 2 949 t - 2 949 t - 2. 1 2 x3bb x3bb. que es un promedio ponderado, con pesos en descomposición exponencial en x3bb tasa. de ahí el nombre del modelo, ponderado exponencialmente media móvil. Bibliografía Engle, R. F. 2009. Anticipando correlaciones: Un nuevo paradigma para la Gestión de Riesgos. Princeton University Press. Tsay, R. S. 2005. El análisis de series de tiempo financieras mdash 2ª Ed. Wiley-Interscience. Compartir sus puntos de vista: La información se proporciona tal cual y únicamente con fines informativos, no para fines comerciales ni de asesoramiento. Adicional volatilidad histórica ProvisionsCalculate Usando EWMA La volatilidad es la medida más comúnmente utilizada de riesgo. La volatilidad en este sentido puede ser o bien la volatilidad histórica (que se observa a partir de datos), o bien se podría volatilidad implícita La volatilidad histórica se puede calcular de tres maneras, a saber (observados desde los precios de mercado de los instrumentos financieros.): La volatilidad simple, exponencial móvil ponderado promedio (EWMA) GARCH Una de las principales ventajas de EWMA es que da más peso a las recientes declaraciones de al calcular los rendimientos. En este artículo, vamos a ver cómo la volatilidad se calcula utilizando EWMA. Por lo tanto, vamos a empezar: Paso 1: Calcular los rendimientos de registro de la serie de precios Si estamos buscando en los precios de las acciones, podemos calcular los rendimientos diarios lognormales, utilizando la fórmula ln (P i / P i -1), donde P representa cada día el precio de cierre. Tenemos que utilizar el logaritmo natural porque queremos que los rendimientos que se agravan de forma continua. Ahora vamos a tener retornos diarios para toda la serie de precios. Paso 2: La Plaza de los retornos El siguiente paso es la toma de la plaza de los rendimientos de largo. Esto es en realidad el cálculo de la varianza simple o volatilidad representado por la siguiente fórmula: Aquí, u representa los rendimientos, y m representa el número de días. Paso 3: Asignar pesos asignar pesos tales que los retornos recientes tienen mayor peso y rendimientos mayores tienen menor peso. Para ello necesitamos un factor llamado Lambda (), que es una constante de alisamiento o el parámetro persistente. Los pesos son asignados como (1-) 0. Lambda debe ser inferior a 1. métrica de riesgo utiliza lambda 94. El primero de peso será (1-0,94) 6, el segundo peso será 60,94 5,64 y así sucesivamente. En EWMA todos los pesos suman 1, sin embargo, están disminuyendo con una relación constante de. Paso 4: Multiplicar devoluciones cuadrado con los pesos Paso 5: Tome la suma de R 2 w Esta es la varianza EWMA final. La volatilidad será la raíz cuadrada de la varianza. La siguiente captura de pantalla muestra los cálculos. El ejemplo anterior vimos que es el enfoque descrito por RiskMetrics. La forma generalizada de EWMA se puede representar como la siguiente fórmula recursiva: 1 Comentario
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